第三種電気主任技術者（電験三種） 過去問
令和5年度（2023年）下期
問55 (機械 問13)

◆フィードバック周波数伝達関数の式を求めます

W(jω)＝C(jω)/R(jω)

＝(K/jωT)/(1＋K/jωT)

＝(K/jωT)/(K＋jωT/jωT)

＝K/(K＋jωT) 

＝1/(1＋jωT/K)……①

◆①をゲイン特性の公式に代入して、ゲインの式を求めます

g＝20log₁₀∣W(jω)∣

＝20log₁₀∣1/(1＋jωT/K)²∣

＝20log₁₀1/√{1²＋(ω✕T/K)²}

＝20log₁₀√{1＋(ω✕T/K)²}⁻¹

＝−20log₁₀√{1＋(ω✕T/K)²}……②

◆②を使ってω✕T/Kが十分に小さい場合のゲインを求めます

ω✕T/Kが十分に小さい場合は、ω✕T/Kの項はほぼ0になるので無視できます。

従って、

g＝−20log₁₀√{1＋(ω✕T/K)²}

＝−20log₁₀√1

＝−20log₁₀1

＝0[dB]

となります。

◆②を使ってω✕T/Kが十分に大きい場合のゲインを求めます

ω✕T/Kが十分に大きい場合は、1を無視できます。

従って、

g＝−20log₁₀√{1＋(ω✕T/K)²}

＝−20log₁₀√(ω✕T/K)²

＝−20log₁₀ω✕T/K……③

となり、

ω✕T/K＝10と仮定した場合の値はg＝−20[dB]になることが分かります。

◆③を使ってゲインが0の場合を求めます

ゲインをdBで表すときは、線形ゲイン1は0dBになります。したがって、折れ点角周波数を求めるときは、ゲインが1の場合ではなく、ゲインが0dBの場合を考えます。この問題では、高い周波数での近似式が
0＝−20log10(ωT/K)
となるので、これを解くと
ωT/K＝1
したがって
ω＝K/T
となります。

これらの全ての条件を満たす、この選択肢が正解となります。

ωが十分に小さい時に0[dB]のラインにあり、折れ点角周波数がK/Tでもありωが十分に大きい時には－20[dB]となっているこちらのボード線図が適切となります。

開ループの伝達関数は、

L(jω)=K/(jωT)

となります。

閉ループの周波数応答は、

W(jω)=L(jω)/(1+L(jω))=K/(jωT+K)

と求められます。

よって、この関数のゲインg[dB]は、

g=20log₁₀K/√(K²+(ωT)²)

となります。

ωT/Kが十分に小さい時は、

g=20log₁₀K/√K²=0[dB]、

ωT/Kが十分に大きい時は、

g=20log₁₀K/√(ωT)²=20log₁₀K-20log₁₀ωT

となります。

ωT/Kが十分に大きい時のg=0となるωは、

ωT=Kより、

ω=K/T（接点）

なので、

これらをすべて満たすグラフは、この選択肢となります。